<t->
          Tudo  Matemtica
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Roberto Dante

          Impresso Braille em
          9 partes, na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 3 edio, 1 impresso,
          So Paulo, 2011, 
          Editora tica

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Gerente Editorial
          Mrcia Takeuchi

          Editora 
          Crmen Slvia Rela 
          Matricardi

          Editoras de Texto 
          Ldia La Mark
          Snia Scoss Nicolai
 
          Assessoria Didtica
          Clodoaldo Pereira Leite
          
          ISBN 978-85-08-12485-5

          2011
          Todos os direitos reservados 
          pela Editora tica S.A.
          Av. Otaviano Alves de Lima, 
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          intermedirio Ala A Freguesia do  -- CEP 02909-900 -- 
          So Paulo -- SP
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          ~,www.atica.com.br~,
          ~,editora@atica.com.br~,
<P>           
                                I
Sumrio

Terceira Parte

Captulo 5

Clculo algbrico :::::::::: 241 

1. Expresso algbrica 
  inteira ::::::::::::::::::: 245  

2. Monmios ::::::::::::::: 246
Monmios semelhantes ou 
  termos semelhantes :::::::: 249  
Operaes com monmios ::::: 253 
Adio e subtrao de 
  monmios semelhantes :::::: 253 
Multiplicao de 
  monmios :::::::::::::::::: 256
Diviso de monmios :::::::: 258 
Potenciao de monmios :::: 260

3. Polinmios ::::::::::::: 263 
Reduo de termos 
  semelhantes de 
  polinmios :::::::::::::::: 267  
Grau de um polinmio ::::::: 273 
<p>
4. Operaes com 
  polinmios :::::::::::::::: 277  
Adio e subtrao de 
  polinmios :::::::::::::::: 278 
Multiplicao de 
  polinmios :::::::::::::::: 280 
Multiplicao de monmio por 
  polinmio ::::::::::::::::: 280  
Multiplicao de binmio por 
  binmio ::::::::::::::::::: 283 
Multiplicao de dois 
  polinmios quaisquer :::::: 286 
Produtos notveis :::::::::: 292  
Quadrado de uma soma 
  indicada: a+b2 ou 
  a+ba+b :::::::::::::::: 293
Quadrado de uma diferena 
  indicada: a-b2 ou 
  a-ba-b :::::::::::::::: 296 
Produto de uma soma indicada 
  por uma diferena indicada: 
  a+ba-b :::::::::::::::: 300  
Cubo de uma soma indicada: 
  a+b3 :::::::::::::::::: 305  
Cubo de uma diferena 
  indicada: a-b3 :::::::: 307  
Diviso de polinmios :::::: 311  
<p>
                            III
Diviso de polinmio por 
  monmio ::::::::::::::::::: 312 
Diviso de polinmio por 
  polinmio ::::::::::::::::: 314 
Fatorao de polinmios :::: 319 
1 caso de fatorao: 
  colocao de um termo em 
  evidncia ::::::::::::::::: 319  
2 caso de fatorao: 
  agrupamento ::::::::::::::: 323  
3 caso de fatorao: 
  trinmio quadrado 
  perfeito :::::::::::::::::: 325 
4 caso de fatorao: 
  diferena de dois 
  quadrados ::::::::::::::::: 328 
5 caso de fatorao: soma 
  de dois cubos ::::::::::::: 331 
6 caso de fatorao: 
  diferena de dois cubos ::: 333  
Fatoraes sucessivas :::::: 336  
Uma aplicao da fatorao: 
  clculo do mnimo mltiplo 
  comum (mmc) de 
  polinmios :::::::::::::::: 337 
<p>
Mnimo mltiplo comum de 
  nmeros naturais 
  (reviso) ::::::::::::::: 337 
Mnimo mltiplo comum de 
  polinmios :::::::::::::::: 339 
Outra aplicao de 
  fatorao: resoluo de 
  equao-produto ::::::::::: 343 
Demonstraes :::::::::::::: 347  

5. Polinmios com uma 
  varivel :::::::::::::::::: 355  

Reviso cumulativa ::::::::: 363  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 372 


<86>
<Ttudo  mat. 8 ano>
<t+241>
Captulo 5 

<R+>
Clculo algbrico 

Voc j ouviu falar em expresses algbricas. Saiba que muitas vezes precisamos fazer clculos com elas. 
<R->

  Vamos acompanhar alguns exemplos. 
  Observe a regio retangular da figura a seguir, que mostra o tampo da mesa que o marceneiro est fazendo. 
  
<F->
        x+5
pcccccccccccccpccc
l _-_          l _-_          
v---#          v---#
l                  _ 2x
pccc          pccc
l _-_          l _-_
v---#----------v---#
<F+>
<p>  
  As medidas do comprimento e da largura dessa regio retangular esto representadas por expresses algbricas, ambas na mesma unidade de comprimento. 
  Assim: 
<R+>
<F->
 x+5 representa a medida do comprimento 
 2x representa a medida da largura 
<F+>
<R->
  Com base nesses dados, como fazemos para representar o permetro e a rea dessa regio retangular? 
  Veja: 
<R+>
<F->
 Permetro: 2x+x+5+2x+x+5 unidades de medida de comprimento 
 rea: 2x.x+5 unidades de rea 
<F+>
<R->
<87> 
  Para tornar mais simples essas expresses que representam o permetro e a rea, vamos usar as propriedades das operaes e efetuar alguns clculos. 
  Acompanhe. 
<p>
<R+>
<F->
  Permetro: 
2x+x+5+2x+x+5= 
=2x+x+2x+x+5+5= 
=x.2+1+2+1+5+5= 
=6x+10 

  rea: 
2x.x+5= 
=2x.x+2x.5= 
=2x2+10x 
 
  Outros exemplos:

        a
  pcccccccpccc
  l _-_    l _-_          
  v---#    v---#
  l            _ 
a l            _ a
  pccc    pccc
  l _-_    l _-_
  v---#----v---#
        a  

Permetro: a+a+a+a ou 4a
rea: a.a ou a2
<p>
  "
  le 
  l  e  
  l    e 
  l      e 
y l        e x+1
  l          e  
  pccc        e  
  l _-_          e 
  v---#------------z
          x   

Permetro: x+y+x+1 ou 2x+y+1
rea: xy~2

Neste captulo voc vai efetuar clculos como esses, que envolvem expresses algbricas. Por isso o nome clculo algbrico. O filsofo e matemtico francs Ren Descartes (1596-1650) acreditava que o clculo algbrico era um mtodo poderoso e universal para resolver problemas. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<88> 
<p>
<R+>
1. Expresso algbrica inteira 
<R->

  As expresses dos itens so expresses algbricas, pois contm nmeros e letras. 

<R+>
4x+6; ?x-1*~?x+5*; 8x2y; 3x; ab ou 1ab; 3~x2; 8 ou 8x0; 5x-1 ou 5~x; a2-a+4; 3x~10

Chamamos de expresses algbricas inteiras as que no tm letra em denominador, nem dentro de radicais. 
<R->

Atividades 

<R+>
<F->
1. Identifique as expresses dos itens anteriores e separe-as em dois grupos: expresses inteiras e expresses no inteiras. 
<p>
2. Invente e registre mais algumas expresses algbricas.  
a) Uma expresso inteira com uma s varivel. 
b) Uma expresso no inteira com letra em denominador.  
c) Uma expresso no inteira com letra dentro de radical. 
d) Uma expresso inteira com duas variveis. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

2. Monmios 

  Observe as expresses algbricas seguintes: 4l, l2, 2x2 e 12ab. 
  Elas so exemplos de monmios. 

<R+>
Expresses algbricas inteiras que apresentem apenas multiplicaes entre nmeros e letras so chamadas de monmios ou de termos algbricos. 
<R->
<p>
  Em geral, um monmio  formado por uma parte numrica, chamada de coeficiente, e uma parte literal. 
  Examine os monmios de nossos exemplos: 
<R+>
<F->
4l: 4 -- coeficiente e l -- parte literal
l2: 1 -- coeficiente e l2 -- parte literal
2x2: 2 -- coeficiente e x2 -- parte literal
12ab: 12 -- coeficiente e ab -- parte literal  
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "A palavra mono significa $"um s$"."

<89> 
Atividades 

<R+>
<F->
3. Use os conhecimentos que voc j tem e responda no caderno: 
a) Que expresses algbricas representam o permetro e a rea da regio quadrada a seguir?
<p>
      l
  !:::::::
  l       _
  l       _
l l       _ l
  l       _
  h:::::::j
      l

b) Qual  a expresso algbrica que representa a rea de uma regio retangular cuja medida de comprimento  o dobro da medida da altura? 

4. Considere a regio retangular da figura 1 como unidade de rea e indique a expresso algbrica que representa a rea da regio retangular da figura 2. 

Figura 1:

  b
!::::
l    _ a 
h::::j
<p> 
Figura 2:
      
!:::::::::::::::::::
l    _     _     _     _
r::::w:::::w:::::w:::::w
l    _     _     _     _
r::::w:::::w:::::w:::::w
l    _     _     _     _
h::::j:::::j:::::j:::::j

5. Escreva o coeficiente e a parte literal de cada um destes monmios: 
a) 6x3 
b) -2x2yz4
c) xy
d) 1,5a2b
e) -2~3t2
f) -c2d3  
g) a2~5 
h) 6abc

Monmios semelhantes ou termos semelhantes 
<F+>
<R->

  Observe estes monmios. Eles apresentam a mesma parte literal: 
<p>  
<R+>
8x3; 27x3; x3; -3x3; 2x3~5
<R->

  Em casos assim, dizemos que os monmios ou os termos algbricos so semelhantes. 

<R+>
Termos algbricos semelhantes so monmios que tm a mesma parte literal. 
<R->

  Veja outros exemplos de monmios semelhantes: 2ab, -1~5ab, 3,5ab e 20ab.

_`[{o professor diz_`]
  "2ab2 e -1~2b2a tambm so semelhantes porque -1~2b2a  igual a -1~2ab2."
 
  Observe agora os monmios 2x e 3xy. Eles no so semelhantes, pois no tm a mesma parte literal. 

<90>
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
6. Examine esta sequncia _`[no adaptada_`] de cubos. 
a) Quais so os prximos dois cubos? Desenhe-os em seu caderno. 
b) Indique o volume de cada um deles por meio de um monmio. 
c) Esses monmios so semelhantes?
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
7. Analise os monmios de cada item e escreva se eles so ou no semelhantes. 
a) 4x2 e 4x3  
b) 5xy2 e 7xy2 
c) 9y e -2y 
d) 3x~5 e -x  
e) 7ab e 6ba 
f) 4xy3 e 4x3y 
<p>
g) 9x e 9y 
h) 8a~3 e 3a~8 
i) xy e -xy  

8. Escreva em seu caderno. Depois confira com um colega os seus exemplos e os dele.  
a) dois monmios semelhantes cujos coeficientes so nmeros opostos.  
b) dois monmios semelhantes cujos coeficientes so nmeros inversos.
c) dois monmios semelhantes a 5ax2.  
d) um monmio que no  semelhante a 5ax2. 

9. Responda e justifique: 3x~4 e 2~7x so monmios semelhantes?  

10. Entre os monmios que aparecem a seguir s h dois semelhantes. Quais so eles? 
 
9x2y; 9xy; 3xy2; xy2; -4x2y2 
<p>
Operaes com monmios
<F+>
<R->
 
  As expresses algbricas indicam nmeros, por isso podemos efe-
 tuar com elas as operaes conhecidas. Inicialmente veremos as operaes com monmios.

<R+>
Adio e subtrao de monmios semelhantes 
<R->

  Observe como podemos efetuar a adio dos monmios semelhantes 2x e 3x:

_`[{o professor diz_`]
  "Usamos a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio."

2x+3x=2+3x=5.x=5x
  Logo, 2x+3x=5x. 
<91>
  Podemos tambm constatar essa operao geometricamente. 
  Para calcular a rea de toda a regio retangular, voc pode fazer de duas maneiras. 
<p>
<F->
      2          3           
  pccccccccpccccccccccccc
  l        l             _
  l        l             _
x l  2x   l     3x     _ 
  l        l             _   
  h::::::::h:::::::::::::j
      I        II
<F+>

<R+>
<F->
  1 maneira: 
Calcular a rea de cada parte, I e II, e som-las:
rea de I=2x 
rea de II=3x 
rea de I + rea de II=2x+3x 

  2 maneira:
Calcular diretamente a rea da regio retangular correspondente  figura toda:
2+3x=5x 
<F+>
<R->

  Como as duas regies menores formam toda a regio retangular, temos 2x+3x=5x. 
<p>
  Ainda usando a propriedade distributiva, veja mais alguns exemplos com adio e tambm com subtrao de monmios semelhantes. Procure descobrir uma forma prtica para obter o resultado diretamente. 
<R+>
<F->
a) 4x2+3x2=4+
  +3x2=7x2  
b) 9xy-2xy=9-2xy=7xy  
c) 3a2b-a2b=3-
  -1a2b=2a2b
d) 7x+7x=7+7x=14x
<F+>
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "E se os dois monmios que vamos somar ou subtrair no forem semelhantes, como 7x2 e 3x, por exemplo?"

_`[{o professor diz_`]
  "Nesse caso, obtemos como resultado uma expresso algbrica 
 chamada binmio. Nesse exemplo, a soma de 7x2 e 3x  7x2+3x e a diferena entre 7x2 e 3x  7x2-3x."
<p>
Atividaes  

<R+>
<F->
11. Copie e efetue as adies e subtraes de monmios semelhantes: 
a) 8x3+4x3 
b) 17ab-6ab  
c) 4y+y 
d) 3a2b2-4a2b2 
e) 3~7x2+2~7x2 
f) 4~5xy-1~3xy
g) x2y+x2y 
h) 3x+6x-x  
i) x2~6-2x2~9+x2 
 
12. Indique em seu caderno: 
a) a soma de 9xy e 5xy.  
b) a soma de 3a2 e #i~a.   
c) a diferena entre 4,5x e 3y. 
d) a diferena entre 8,6x2 e 4,1x2. 
<F+>
<R->

<92> 
Multiplicao de monmios 

  Dados dois monmios, semelhantes ou no, podemos sempre obter um novo monmio pela multiplicao 
<p>
 dos dois. Para isso usamos propriedades da multiplicao e da potenciao. 
  Veja este exemplo: 
  
<R+>
<F->
9x2.5x3=9.
  .5x2.x3=45x?2+3*=
  =45x5 

propriedades comutativa e associativa da multiplicao 
9x2.5x3=9.5

propriedade do produto de potncias de mesma base 
x2.x3=45x?2+3*
<F+>
<R->

  Observe mais exemplos: 
<R+>
<F->
a) 3a.-4b=-12ab 
b) 5x.3x=15x?1+1*=
  =15x2
c) -a2.2ab=-2a3b
d) 3~4x41~2x3=
  =3~8x7  
e) -x-7x2=7x3 
f) 7ab2ab2c=
  =14a2b3c 
<F+>
<R->
<p>
Diviso de monmios 
 
  Dados dois monmios, considerando que o segundo represente um nmero diferente de zero, podemos efetuar a diviso do primeiro pelo segundo. 
  Nesse caso, na diviso de uma mesma varivel, usamos a propriedade da diviso de potncias de mesma base. 
  Analise os exemplos e procure desenvolver um processo prtico. Lembre-se de que o 2 monmio est sendo considerado diferente de zero. 
<R+>
<F->
a) 12x63x2=
  =12x6~3x2=4x?6-2*=
  =4x4 
b) -9x23x=-9x2~3x=
  =-3x?2-1*=-3x 
c) 28a24a2)=7a?2-2*=7a0=7 
d) 21x3y~7xy=3x2
e) 10x22x3=5x?2-
  -3*=5x-1=5.1~x=5~x
f) 5a15b=5a~15b=
  =a~3b 
<p>
Observao: Os dois ltimos exemplos mostram que o quociente de um monmio por outro monmio pode no ser um monmio. 
As expresses 5~x e a~3b no so monmios, pois tm varivel no denominador. Elas so chamadas de fraes algbricas. 

Atividades 

13. Copie e efetue as multiplicaes de monmios: 
a) 7x5.-3x2  
b) x~5.3x
c) -9x2y.-2xy2  
d) 7a.2b 
e) 3,2x3.0,7x3  
f) 4a3b3b 
g) -a2.a  
h) 4x~5.y~3    
i) 2~3xy3.1~4x2y2
<F+>
<R->
<93>
<p> 
<R+>
<F->
14. Copie e efetue as divises de monmio por monmio e, em cada item, escreva se o resultado  um monmio ou uma frao algbrica. Considere o divisor no nulo. 
a) 35x85x2    
b) 7a27a   
c) m5m2  
d) 8x4x3 
e) 30x3~5x3
f) 18x3y23xy2  
g) 6a23ab 
h) 20a2bc3
  4a2b2c2
i) 3a7 

Potenciao de monmios
<F+>
<R->
 
  Aqui vamos usar propriedades j conhecidas da potenciao: potncia de um produto e potncia de potncia. 
  Veja os exemplos: 
<R+>
<F->
a) 5x32=52.
  .x32=25x?3.2*=25x6 
<p>
b) -2xy23=-23.x3.
  .y23=-8x3y6 
c) 4x2-1=4-1.
  .x2-1=1~4.x-2=1~4.
  .1~x2=1~4x2, com x=0  
d) 3x4=34.x4=81x4 
e) 2x-2=2-2.x-2=
  =1~4x2, com x=0 
f) 5a3b24=
  =625a12b8
Observao: Nos exemplos em que o resultado foi 1~4x2, devemos considerar x=0 para que esse resultado indique um nmero real. 

Atividades 

15. Efetue as potenciaes de monmios: 
a) 9x92 
b) -3x2y4  
c) 7y2 
d) -x3   
e) 2a2b5  
<p>
f) 3x2-1, com x=0  
g) 10x-3, com x=0 
h) 5x23 
i) 3x3~52
j) -2x43 
k) x~24
l) -10xy24 

16. Pratique um pouco as operaes com monmios: 
a) 3x4+12x4   
b) 9xy-xy 
c) 3x3.2x2 
d) 16x102x2
e) 3x34 
f) 9x2+6xy  
g) -2xy23  
h) 25x~5x, para x=0
i) 2a.3b  
j) 4x2y.-2xy  
k) 10x3  
l) 6x2-10x2  
m) 2x42x3, para x=0 
n) 2~3x-1, para x=0  
o) 4x3.2x2 
p) 9x2y+3x2y  
<p>
q) 3x.3x  
r) 6x2y-2xy2  
Confira suas respostas com as de um colega. 

17. Na atividade anterior, em que itens o resultado no  um monmio? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<94>
3. Polinmios
 
  Vamos determinar a rea da figura a seguir, considerando todas as medidas na mesma unidade de comprimento. 
  Para isso, vamos calcular a rea de cada uma das partes I, II e III e som-las.
<F->
<p>
            !:::::
            l     _
            lIII_ y
            l     _
  !:::::::::r:::::w
  l         l     _
  l         l     _
  l         l     _
x l   I    l II_ x
  l         l     _ 
  l         l     _   
  h:::::::::h:::::j
      x       y
<F+>

<R+>
<F->
rea I=x2
rea II=xy
rea III=y2
rea da figura =x2+xy+y2 
<F+>
<R->

  A expresso x2+xy+y2 indica uma adio de monmios. Ela  um exemplo de polinmio. Nesse caso,  um polinmio de trs termos, que chamamos de trinmio. 

<R+>
Toda expresso que indica uma soma algbrica (adio ou subtra-
<p>
  o) de monmios  chamada de polinmio. 
<R->

  So polinmios as seguintes expresses algbricas: 
 
<R+>
5a2-3a+1; 4x2-2xy+3x; 2x+6; #;cx-#,by+5; a2-2ab+b2-a2b2 
<R->

  Conforme o nmero de parcelas ou termos com partes literais diferentes, um polinmio recebe nomes especiais. Veja na tabela: 

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em trs colunas_`]
1 coluna: Nmero de termos
2 coluna: Nome
3 coluna: Exemplo

1 -- Monmio -- 2xy
2 -- Binmio -- a2-2ab
3 -- Trinmio -- x2+2xy+y2 
um n.o qualquer -- Polinmio -- a3-3a2b+3ab2+b3
<F+>
<R->
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Embora tenham nomes especiais, monmios, binmios e trinmios so casos particulares de polinmios."

Atividades

<R+>
<F->
18. D o nome dos polinmios de acordo com o nmero de termos: 
a) 6x2-4x+9  
b) 7x2+5x  
c) 4x4 
d) -3r+#,bs 
e) -2abc
f) x3+x2-x+1 
g) -2~5a2b  
h) a+b-5  
i) 3x-y 

19. Voc sabe o significado de ginsio poliesportivo? E de poliedro? E de polgono? 
<F+>
<R->
  Agora, conheceu a palavra polinmio. Converse com um colega sobre o que quer dizer o prefixo poli e sobre os significados dessas palavras. 

<95>
<p>
<R+>
Reduo de termos semelhantes de polinmios 
<R->

  Podemos simplificar uma expresso algbrica que apresenta termos semelhantes determinando sua forma reduzida. 
  Veja por exemplo como podemos indicar o permetro da regio plana poligonal a seguir: 
 
<F->
       2x
    !::::::
    l      _ y
    l      _  2x
    l      ::::::
    l             _
3y l             _
    l             _ 2y
    l             _
    h:::::::::::::j
          4x
<F+>
<p>
<R+>
<F->
2x+y+2x+2y+4x+3y 
ou usando as propriedades comutativa e associativa da adio 
2x+2x+4x+y+2y+3y 
ou, ainda, reduzindo os termos semelhantes: 8x+6y 
<F+>
<R->
  
  A ltima expresso obtida  o permetro dessa regio poligonal escrito na forma reduzida. 
  Examine estes outros exemplos de reduo de termos semelhantes: 
<R+>
<F->
a) 3y-7y+5y=3-7+5)y=1y=y;
y -- forma reduzida 
b) xy+1~5xy=1+1~5xy=
  =6~5xy; 
6~5xy -- forma reduzida
c) 2ab2+xy-ab2-3xy+
  +3ab2=4ab2-2xy 
4ab2-2xy -- forma reduzida
d) r+s-5-s=r-5 
r-5 -- forma reduzida
<p>
Atividades 

20. Escreva cada polinmio em sua forma reduzida: 
a) 2x2-5x+3-3x2-3+7x
b) 3y3+2y2+y-1-3y3-
  -y2-5y+3 
c) 9a+2b-6-3b+a-1   
d) 4r+2s-4r+7  
e) -5xy+2y2+xy-3y2+2+
  +3xy-1  
f) 4x3-5y-6x3+7y+3x3-
  -2y  
g) 2y2+6y-2y+y2 
h) x+x+y+y+3+3  

21. Alguns dos polinmios a seguir no podem ser reduzidos. Escreva quais so e por que no podem ser simplificados. 
a) 2x3+x2+x 
b) 3y3+y2-1-y2-y3+1 
c) 3ab+2xy+2a+x 
d) 2xy+y+xy-2y+3y
<p>
22. Escreva o monmio que indica a rea desta figura:  
<F+>
<R->

<F->
      3a
  !:::::::::::
  l           _
  l           _
x l           _
  l           _
  r::::::::::j:::
  l       _       _ a
  l       _:::::::j
x l       _   x      
  l       _
  h:::::::j
     2a
<F+>

_`[{o professor diz_`]
  "a e x indicam medidas dadas em uma mesma unidade."
<p>
<R+>
<F->
23. Considerando os valores dados em centmetros, responda: 

Legenda:
   -- parte colorida

       !::::::       
       l     _       _ 2
       l      _       _
  !::::r::::::w::::  w
  l    l      _    _  _
  l   l      _   _  _ x
  l    l      _    _  _
  h::::r::::::w::::j  w
       l     _       _ 2
       l      _       _
       h::::::j       j

  v----v------#----#
   2     x     2

a) Qual  a rea da parte colorida desta figura, em cm2? 
b) Para que valor de x a parte colorida tem rea igual a 72 cm2? 
<F+>
<R->

<96>
<p>
<R+>
24. Indique a expresso correspondente a cada item na sua forma mais reduzida possvel e escreva se  um monmio, um binmio ou um trinmio. 
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Considere as medidas na mesma unidade."

<R+>
<F->
a) Permetro de um quadrado com cada lado medindo 3x.  
b) rea de uma regio retangular com dimenses 3a e 5b.  
c) Permetro de uma regio retangular com dimenses 2x e y. 
d) Volume de um cubo com arestas medindo 2~a.  
e) Volume de um paraleleppedo com dimenses x, 3y e 2z. 
f) Permetro de um tringulo com lados medindo a, 2b e 5.  
g) Permetro do tringulo desenhado a seguir.
<p>        
         ie
       i    e  
 3x i        e 3x
   i            e
 i                e
j::::::::::::::::::h   
        5x 
 
h) Permetro de um losango com lados medindo 2xy.  
i) rea de uma regio retangular de comprimento x e largura 2y.  
j) Permetro de um tringulo com lados medindo 5, 7 e x.  

Grau de um polinmio 
<F+>
<R->

  Vejamos primeiramente grau de um monmio. 

<R+>
O grau de um monmio  dado pela soma de todos os expoentes de sua parte literal. 
<R->

  7x2y, por exemplo,  um monmio do 3 grau, pois 7x2y  o mesmo que 7x2y1 e 2+1=3. 
<p>
  Veja outros exemplos: 
<R+>
<F->
a) 5x4  um monmio do 4 grau. 
b) 2x~9  um monmio do 1 grau. 
c) Ateno! -4  um monmio de grau zero, pois -4  o mesmo que -4x0.
d) 3xy  um monmio do 2 grau.
<F+>
<R->
  Agora vamos ver o significado de grau para um polinmio qualquer. 

<R+>
O grau de um polinmio  dado pelo seu termo de maior grau depois de reduzidos seus termos semelhantes. 
<R->

  Veja estes exemplos: 
<R+>
<F->
a) 4x3-3x2+5  um polinmio do 3 grau, pois 4x3  seu termo de maior grau. 
b) 2x+xy-6y  um polinmio do 2 grau, pois xy  seu termo de maior grau. 
<F+>
<R->

<97>
<p>
Atividades  

<R+>
<F->
25. Indique o grau dos polinmios a seguir: 
a) 9x5  
b) 8x2y3 
c) -5y   
d) 19abc 
e) x2~7 
f) 18 
g) 4x-2
h) 5x4+3x2-5  
i) 2xy2-4x2y 
j) 2ab-5a  
k) 3y2-y3  
l) x2+4x-x2+10 

26. Considerando as medidas dadas em centmetros, responda no caderno: 
a) Qual  o monmio que expressa o permetro desta figura em cm? Qual  seu grau?  
<p>
    !::
    l  _  
    l  _   
    l  _
    l  _
4y l  _     2y
    l  :::::::::  
    l            _ y
    h::::::::::::j
          3y

b) Qual deve ser o valor de y para que o permetro dessa figura seja de 7 cm? 

27. Observe as regies planas poligonais a seguir. As medidas dadas esto todas em centmetros. 

           2x+1
    !:::::::::::::::::
    l                 _
    l                 _ 
x-1l                 _
    l                 _
    h:::::::::::::::::j
<p>
             a+b    
        cccccccccccc
                     
 a+8                  4b
                       
                          
   ----------------------u
           2a+5b-2           

a) Escreva seus permetros usando polinmios na forma reduzida. 
b) Se o permetro da regio retangular  de 24 cm, qual  o valor de x?  
c) Se a outra regio tem permetro de 84 cm e a=7 cm, qual  o valor de b? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

4. Operaes com polinmios 

  Da mesma forma que operamos com monmios, tambm podemos efetuar operaes entre dois ou mais polinmios. 
<p>
Adio e subtrao de polinmios 

  Dados os polinmios A=3x2+
 +2x e B=2x2+x, vamos indicar a soma por A+B e a diferena por A-B. Para calcul-las, eliminamos os parnteses e reduzimos os termos semelhantes: 
<R+>
<F->
 A+B=3x2+2x+2x2+x=
  =3x2+2x+2x2+x=5x2+3x 
  Assim, A+B=5x2+3x. 
 A-B=3x2+2x-2x2+x=
  =3x2+2x-2x2-x=x2+x 
  Assim, A-B=x2+x. 
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Para efetuar a subtrao A-B=3x2+2x-2x2+x  preciso ateno especial. Lembre-se: -2x2+x=-12x2+x=
  =-2x2-x."

<98>
Atividades  

<R+>
<F->
28. Efetue estas adies e subtraes em seu caderno: 
a) x2+3x-1+-2x+3
<p>
b) -ab2+ab-4+
  +2ab2-ab-5
c) -x3-3x2+x-
  -3x3+2x2 
d) a3+2a2-5-a3-a2-
  -5 

29. Se A=x2+1 e B=-2x2+x+2, determine o valor de: 
a) A+B 
b) A-B         
c) B-A
d) 3.A 
e) -5.B 
f) -2A+3B  

30. Elimine os parnteses e reduza os termos semelhantes: 
a) 3x3+5x2+x-3+
  +x3-3x2+2x+4 
b) 4x3-4x2+2x+1-
  -2x3-3x2+x+2 
c) 3x-2+x-4-2x-1  
d) -x2+2xy+y2+2+
  +x2-2xy+y2-2
<p>
e) -x2-2xy-y2-1--x2-
  -2xy+y2+1
f) a2-a+ab-b-a+2ab-b
 
31. D um exemplo de uma adio de dois polinmios do 2 grau cuja soma  um polinmio do 1 grau. 

Multiplicao de polinmios 
<F+>
<R->

  O estudo da multiplicao ser feito em casos separados.

<R+>
Multiplicao de monmio por 
  polinmio 
<R->

  Vamos determinar a rea da regio retangular {a{b{c{d. 

<F->
    A x  E    7      B   
    pcccccpccccccccccccc
    l     l             _
    l     l             _
3x l I  l    II     _ 
    l     l             _   
    h:::::h:::::::::::::j
    D    F            C  
<F+>
<p>
  Calculamos separadamente as reas das regies I e II e somamos:  
<R+>
<F->
I) 3x.x=3x2 
II) 7.3x=21x
rea da figura: 3x2+21x 
<F+>
<R->
  Mas veja que a regio toda  retangular de largura 3x e comprimento x+7. Logo, sua rea pode ser escrita como uma multiplicao de um monmio 3x por um binmio x+7. Aplicamos a propriedade distributiva e escrevemos: 

3x.x+7=3x2+21x 

  Outros exemplos: 
<R+>
<F->
a) 4x2.x2-3x+5=
  =4x4-12x3+20x2 
b) a.a-b+2=a2-ab+2a 
c) 3x-y.xy=3x2y-xy2 
d) 9a3.3a2+4a=
  =27a5+36a4 
<F+>
<R->

<99> 
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
32. Faa as seguintes multiplicaes: 
a) 3ab2a+4b  
b) 2x+y3x2 
c) 2x.x2-5x+1  
d) -yy2-2y  
e) 3x22x3-x2+2x+1 
f) -5x.x-2y
g) -2xx2-3x+2 
h) a2+2ab+b23a2 
i) 4a3a3+a2-a+1 

33. Copie e complete o diagrama a seguir: 

_`[{diagrama adaptado_`]
3x2+2x2='''-x2='''3x=
  ='''3x-2='''

34. Se x representa um nmero natural, descubra qual  a expresso reduzida que representa o produto do triplo de x pelo sucessor do dobro de x.  
<p>
35. Descubra o valor numrico de 4x3x2+2x+1-26x3+
  +4x2+x para x=#:g. (Sugesto: Primeiro simplifique a expresso dada e depois substitua o valor de x.)  

Multiplicao de binmio por 
  binmio
<F+>
<R->

  Voc se lembra dessas duas formas de efetuar a multiplicao de 15 por 16? 
<R+>
<F->
1) Decompondo os nmeros e aplicando a propriedade distributiva. 
15.16=10+5.10+6= 
=10.10+10.6+5.10+5.6= 
=100+60+50+30=240 
  Logo, 15.16=240 
2) Geometricamente, usando reas de regies retangulares. 
<F+>
<R->
<p>
<F->
         10        6
    !::::::::::::::::::::
    l          _          _
10 l 100     _ 60      _
    l 10.10_ 10.6 _
    l          _          _ 
    r::::::::::w::::::::::w
    l 50      _ 30      _
 5 l 5.10 _ 5.6  _
    h::::::::::j::::::::::j
<F+>

15.16=100+60+50+30=240 

  Pois bem! 
  Voc pode usar os mesmos processos para multiplicar, por exemplo, x+2 por x+5, e depois desenvolver um processo prtico. 
<R+>
<F->

1) Aplicando a propriedade distributiva e reduzindo os termos semelhantes: 
x+2x+5=x.x+5.x+2.x+2.5=
  =x2+5x+2x+10=x2+7x+10 
<F+>
<R->

<100>
<p>
2) Geometricamente: 

<F->
    A  x        5      B
    !:::::::::::::::::::
    l       _            _
  x l x2  _ 5x        _
    l       _            _ 
    r:::::::w::::::::::::w
 2 l 2x   _ 10        _ 
    h:::::::j::::::::::::j
    D                   C
<F+>

<R+>
<F->
A{a{b{c{d=x+2x+5
A{a{b{c{d=x2+5x+2x+10=
  =x2+7x+10
Assim, x+2x+5=x2+7x+10.

3) Processo prtico: 

   x+5
  x+2
::::::::
x2+5x
     2x+10
::::::::::::
x2+7x+10
<F+>
<R->
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Pense nisto: Por que 2x foi colocado abaixo de 5x?"

<R+>
Multiplicao de dois polinmios 
  quaisquer
<R->
 
  Os mesmos processos que voc viu para a multiplicao de binmio por binmio podem ser utilizados para multiplicar polinmios com mais de dois termos. Nesses casos o processo prtico  o mais conveniente. Veja os exemplos: 
<R+>
<F->
a) 3x-2.x2-4x+6=
  =3x3-14x2+26x-12 
b) a2-a+3a+b-1=a3-
  -2a2+4a+a2b-ab+3b-3  

Atividades  

36. Efetue estas multiplicaes. Use o processo que preferir: 
a) a+1a+2  
b) r+5r-3 
c) 4x2-3x+1 
<p>
d) 3a-b3a+b 
e) x+3x+4 
f) 3m-52m-1
g) 4+yy-1 
h) x-72  
i) y+22 
j) x+6x-6 
k) x3+xx2-1
l) a+63a-2
 
37. Efetue as multiplicaes seguintes: 
a) a+5a2+3a+2 
b) x2-x+3x2-4x+1
c) 3x-yx+y-2
d) x2-2x+12 
<F+>
<R->

<101>
<R+>
<F->
38. Observe as regies poligonais desenhadas e suas dimenses dadas em uma mesma unidade: 
<p>
A)  "
      le 
      l  e  
      l    e 
      l      e 
 x+2 l        e  3x-2
      l          e  
      pccc        e  
      l _-_          e 
      v---#------------z
              2x   

B) pcccccccccccccpccc
     l _-_          l _-_          
     v---#          v---#
a-1 l                  _ 
     l                  _
     pccc          pccc
     l _-_          l _-_
     v---#----------v---#
           a+5
<p>
C)     pcccccccpccc
         l _-_    l _-_          
         v---#    v---#
2x-2 l            _ 
         l            _
         pccc    pccc
         l _-_    l _-_
         v---#----v---#
            2x-2

D)       3x-1
          !:::::
   3x-1 lx    _
  !:::::::b     _ 2x
x l             _
  h:::::::::::::j
       5x+1  
<F+>
<F+>
<R->

<R+>
<F->
Agora, escreva na forma reduzida, sem parnteses, as expresses correspondentes a cada item: 
a) Permetro da regio triangular A.  
b) rea da regio retangular B.
c) Permetro da regio quadrada C. 
d) Permetro da regio D.
<p>
e) rea da regio D. 
f) rea da regio triangular A. 
Depois, responda em seu caderno: Qual  a rea da regio B no caso de o seu permetro ser de 20 unidades de comprimento?  

39. Antes de prosseguir no estudo das expresses algbricas, vamos retomar as operaes j estudadas. Copie e efetue: 
a) 3x5+7x5  
b) 9xy-3xy 
c) 4x2.3x 
d) 5a.-2b  
e) 4x2+3x  
f) -2a--5b  
g) 21x103x2, para 3x2=0 
h) 5x52  
i) -2xy24 
j) ?12x2y*~?3x2y2*, com 3x2y2=0  
k) 3x-1, com x=0 
l) 6x-2+x-4
<p>
m) x2-6x+1-x2-x-3
n) y-4+2y-1-3y+7
o) x+112 
p) 3x+4-2x-1 
q) 3x2x-6  
r) a2a2-6a+2 
s) x+6x-3 
t) 3x-5x2-2x+7 
u) a2-2a+1a2-3a+4 

40. Dados os polinmios: A=4x2-8, B=2x+3 e C=x2-3x+1, efetue as operaes: 
a) A+B  
b) C-B   
c) 5.C    
d) A.B 
e) 2A+3C 
f) B-3A 
g) x.B  
h) A+B-C 
i) 3A-2B+5C 

41. Para x=3, qual expresso tem valor numrico maior: 3x-1-x-4 ou 2x.x-2? 
<p>
Desafio
<F+>
<R->
  
  Agora que voc j viu multiplicao de binmios, resolva esta: Sabendo que um produto de binmios  x2+5x+6, indique dois fatores possveis. 

<102>
Produtos notveis 

  Alguns produtos envolvendo polinmios apresentam uma regularidade em seus resultados (um padro). Por isso, so conhecidos como produtos notveis. Conhecendo-os, podemos economizar muitos clculos. 
  Vamos estudar os produtos notveis conhecidos por quadrado da soma, quadrado da diferena, produto da soma pela diferena, cubo da soma e cubo da diferena.
<p>
<R+>
Quadrado de uma soma indicada: a+b2 ou a+ba+b 

a+b2=a+ba+b=a.a+a.b+b.a+
  +b.b=a2+2ab+b2 
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Como a.b=b.a (propriedade comutativa), ento a.b+b.a=2ab."
 
  Assim: a+b2=a2+2ab+b2 

  Geometricamente,  o mesmo que calcular a rea de uma regio quadrada de lado a+b. 

<F->
     a      b
 !::::::::::::
 l        _    _
al  a2  _ ab _
 l        _    _
 l        _    _ 
 r::::::::w::::w
bl  ab    _b2_ 
 h::::::::j::::j 
<F+>
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Ao dividir o lado do quadrado em duas partes de medidas *a* e *b*, a regio quadrada fica dividida em quatro partes: duas retangulares de rea *ab* cada uma, uma quadrada de rea *a2* e outra quadrada de rea *b2*. a2+2ab+b2  um trinmio quadrado perfeito."

  Veja por que temos aqui um produto notvel: existe um padro no resultado que pode ser utilizado sempre que aparecer uma soma elevada ao quadrado. 

<R+>
<F->
a+b2=a2+2ab+b2 
a -- 1 termo da soma 
b -- 2 termo da soma 
a2 -- quadrado do 1 termo 
2ab -- o dobro do produto do 1 pelo 2 termo
b2 -- quadrado do 2 termo 
<p>
O quadrado de uma soma indicada de dois termos  igual ao quadrado do 1 termo mais o dobro do produto do 1 termo pelo 2 termo mais o quadrado do 2 termo. 
<F+>
<R->

  Veja outros exemplos: 
<R+>
<F->
a) 3x+52=9x2+30x+25  
b) y+62=y2+12y+36 
c) 5x+y2=25x2+10xy+y2 
d) a+22a+22=a2+44a+484 
<F+>
<R->

<103>
Atividades 

<R+>
<F->
42. Use a regularidade que voc acabou de ver e calcule o resultado de cada quadrado da soma: 
a) a+52   
b) 3x+42    
c) 2x+y2   
d) y+102 
e) a+4a+4 
f) 6x+12 
g) 3x+10y2 
h) 5x+75x+7 
i) x2+32
<p>
43. Desenvolva o quadrado da soma e depois reduza os termos semelhantes: 
a) x+32+x2-7x  
b) 2x+12-3x2+8  
c) x+22-x+42+4x+12 
d) 4x+32-24x-9 

Quadrado de uma diferena 
  indicada: a-b2 ou a-ba-b 
  
a-b2=a-ba-b=a.a-a.b-b.a+
  +b.b=a2-2ab+b2 
<F+>
<R->

  Geometricamente, equivale a calcular a rea de uma regio quadrada de lado a-b.  
<p>
<F->
     <::::: a :::::>  
     A a-b   E b B
$    !::::::::::::
_    l        _    _
_ a-bl        _    _
_    l        _    _
a    l     I _    _ 
_ G r::::::::w::::w H
_    l        _    _
_  b l        _b2_ 
    h::::::::j::::j
     D       F   C    
<F+>

  Para obter a rea da regio quadrada {a{e{i{g, determinamos a rea de {a{b{c{d a2 e dela subtramos as reas de {e{b{c{f e de {g{h{c{d 2ab. Ao subtrair essas duas ltimas reas, subtramos duas vezes a rea de {i{h{c{f. Por isso precisamos somar de novo uma vez a rea de {i{h{c{f b2. Assim: 

a-b2=a2-2ab+b2
<p>
  Veja que aqui tambm temos uma regularidade e que, por isso, o quadrado da diferena tambm  um produto notvel. 

<R+>
<F->
a-b2=a2-2ab+b2 
a2 -- quadrado do 1 termo 
-2ab -- o oposto do dobro do produto dos dois termos 
b2 -- quadrado do 2 termo

O quadrado de uma diferena indicada de dois termos  igual ao quadrado do 1 termo menos o dobro do produto do 1 termo pelo 2 termo mais o quadrado do 2 termo. 
<F+>
<R->

  Outros exemplos: 
<R+>
<F->
a) x-42=x2-8x+16 
b) 3x-y2=9x2-6xy+y2  
c) 7x-32=49x2-42x+9 
d) x-1x-1=x2-2x+1
<F+>
<R->

<104>
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
44. Use a regularidade do quadrado da diferena e calcule: 
a) a-32 
b) 4x-72
c) 5-y2 
d) 2x-3y2
e) x-9x-9  
f) a2-x2 
g) 5t-92 
h) x-5y2 

45. Desenvolva os quadrados da diferena e reduza os termos semelhantes: 
a) x-42+8x-16  
b) 3x-12-6x2+6x  
c) x-52-x-32-16
d) 5x-22+x-3x-2

46. Desenvolva estes quadrados: 
a) x+#,b2 
b) x-0,12 
c) 0,5+x2  
d) #,c-x2 
<p>
47. Prove que 4ab+a-b2  igual a a+b2. Essa igualdade foi demonstrada geometricamente pelo matemtico grego Euclides (300 a.C.) no livro II de sua obra Elementos. (Sugesto: Desenvolva cada um separadamente e chegue ao mesmo valor nos dois.) 

Desafio
<F+>
<R->

  Os trinmios a seguir podem ser obtidos a partir do quadrado da soma ou do quadrado da diferena. Descubra qual  em cada item. 
<R+>
<F->
a) x2-10x+25 
b) a2+6a+9 
c) x2-8xy+16y2 
d) 36x2+12x+1 

Produto de uma soma indicada por uma diferena indicada: a+ba-b 

a+ba-b=a2-ab+ba-b2=a2-
  -ab+ab-b2=a2-b2 
<F+>
<R->
<p>
  Assim: a+b.a-b=a2-b2

_`[{o professor diz_`]
  "Note que a soma e a diferena so dos mesmos termos."
 
  Geometricamente, equivale a calcular a rea de uma regio retangular de lados a+b e a-b: 

<F->
   ::: a ::::o
  A a-b B b
   !:::::::::
   l_    _
   l_    _
   l_    _
   l_    _
 a l_    _
   l_    _
   l_    _ 
E r:::::wF  _  
   l_    _
 b l_    _ 
   h:::::j::::j
   D    C  
<F+
<p>
<R+>
<F->
rea de {a{b{c{d = rea de {a{b{f{e + rea de {e{f{c{d 
rea de {a{b{c{d :o a+ba-b
rea de {a{b{f{e :o aa-b
rea de {e{f{c{d :o ba-b
a+ba-b=aa-b+ba-b 
=a2-ab+ba-b2 
=a2-b2 
Logo, a+ba-b=a2-b2. 
<F+>
<R->

<105> 
  Temos aqui mais um produto notvel, pois h uma regularidade no resultado. Observe: 

<R+>
<F->
a+ba-b=a2-b2 
a2 -- quadrado do 1 termo 
-b2 -- oposto do quadrado do 2 termo 

O produto de uma soma indicada por uma diferena indicada dos mesmos termos  igual ao quadrado do 1 termo menos o quadrado do 2 termo. 
<F+>
<R->
<p>
  Outros exemplos: 
<R+>
<F->
a) 3x+73x-7=9x2-49 
b) 5x+y5x-y=25x2-y2 
c) x2+xx2-x=x4-x2 

Atividades 

48. Use a regularidade que voc acabou de ver e calcule mais estes produtos notveis: 
a) 5x+85x-8  
b) a+20a-20   
c) x+4yx-4y  
d) x-7x+7 
e) 6x+2y6x-2y 
f) 10a+310a-3 
g) m-nm+n  
h) 3+5x3-5x 
i) 7r+s7r-s  

49. Para o produto x+66-x, qual  o resultado: x2-36 ou 36-x2?  
<p>
50. Calcule os seguintes produtos: 
a) 2a+b2a-b  
b) 3x-53x+5   
c) 2x+2y2x-2y 
d) u+vv-u 

51. Desenvolva estes produtos e reduza os termos semelhantes: 
a) x+7x-7-x2+50   
b) 3x+13x-1-8x2+1  
c) 2a-3b2a+3b+
  +9b2+1 
d) x+#,bx-#,b+#:d 

52. As diferenas a seguir podem ser escritas como produto da soma pela diferena dos mesmos termos. Descubra quais so esses produtos. 
a) x2-900 
b) 16x2-y2  
c) 64-25a2  

53. Clculo mental 
<F+>
<R->
  Pratique um pouco com seus colegas. Em cada item um d o resultado e os demais conferem. 
<p>
<R+>
<F->
a) x+72   
b) x-72    
c) x+7x-7    
d) 4x-92 
e) 5x+y5x-y 
f) 3a+8b2 
g) r+s2  
h) r-s2 
i) r-sr+s 

54. Reduza as expresses seguintes  sua forma mais simples, sem parnteses: 
a) 3-x-52 
b) 9x2-3x+13x-1 
c) x+42-x-42  
<F+>
<R->

<106>
<R+>
<F->
Cubo de uma soma indicada: a+b3 

a+b3=a+b.a+b2=a+b.
  .a2+2ab+b2= 
  =a3+2a2b+ab2+ba2+
  +2ab2+b3=a3+3a2b+
  +3ab2+b3 
<p>
a3 -- cubo do 1 termo 
3a2b -- triplo do produto do quadrado do 1 termo pelo 2 termo
3ab2 -- triplo do produto do 1 termo pelo quadrado do 2 termo
b3 -- cubo do 2 termo 
<F+>
<R->

  Assim: 

<R+>
a+b3=a3+3a2b+
  +3ab2+b3 
<R->

  Geometricamente a+b3 indica o volume de um cubo _`[no adaptado_`] com arestas medindo a+b. Esse cubo pode ser dividido em: um cubo de arestas a a3, trs paraleleppedos de arestas a, a e b 3a2b, trs paraleleppedos de arestas a, b e b 3ab2 e um cubo de arestas b b3, ou seja: 
 
<R+>
a+b3=a3+3a2b+
  +3ab2+b3 

O cubo de uma soma indicada de dois termos  igual ao cubo do 1 termo mais o triplo do produto do quadrado do 1 termo pelo 2 termo mais o triplo do produto do 1 termo pelo quadrado do 2 termo mais o cubo do 2 termo. 
<R->

  Veja outros exemplos: 
<R+>
<F->
a) x+43=x3+3.x2.4+
  +3.x.42+43=x3+12x2+
  +48x+64 
b) 2y+13=2y3+3.
  .2y2.1+3.2y.12+
  +13=8y3+12y2+6y+1

Cubo de uma diferena indicada: a-b3 

a-b3=a-ba-b2=a-
  -ba2-2ab+b2= 
  =a3-2a2b+ab2-a2b+
  +2ab2-b3=a3-3a2b+
  +3ab2-b3 
<p>
a3 -- cubo do 1 termo 
-3a2b -- oposto do triplo do produto do quadrado do 1 pelo 2 termo
3ab2 -- triplo do produto do 1 termo pelo quadrado do 2 termo 
-b3 -- oposto do cubo do 2 termo 
<F+>
<R->

  Assim: 

<R+>
a-b3=a3-3a2b+
  +3ab2-b3 

<107>
O cubo de uma diferena indicada de dois termos  igual ao cubo do 1 termo menos o triplo do produto do quadrado do 1 termo pelo 2 termo mais o triplo do produto do 1 termo pelo quadrado do 2 termo menos o cubo do 2 termo. 
<R->

  Veja outros exemplos: 
<R+>
<F->
a) x-43=x3-3.x2.4+3.
  .x.42-43=x3-12x2+
  +48x-64 
<p>
b) 3x-y3=3x3-3.
  .3x2.y+3.3x.y2-y3=
  =27x3-27x2y+9xy2-y3 

Atividades 

55. Copie e efetue em seu caderno: 
a) x+23 
b) x-23
c) 5x+3y3 
d) a-4b3 
e) 1-10x3 
f) x+y3 

56. Pratique mais um pouco as operaes j vistas com expresses algbricas. No se esquea de que nos produtos notveis o resultado pode ser colocado diretamente. 
a) 3x-2+x-4 
b) 5x-1.x+3
c) 2x3y4 
d) 5y+42  
e) x2-2x-3x-5 
f) 3a-b2 
<p>
g) 6~a.a2-2a+7 
h) 7xy-9xy 
i) -6x2  
j) x+6x-5
k) x+6x-6 
l) 3x2-6x+1+x2+6x-9 
m) 2a.-3b 
n) a-b.a+b
o) 3x-53 

57. Use x para indicar o nmero citado e escreva, usando smbolos, o correspondente a cada afirmao: 
a) A diferena entre um nmero e ele mesmo  zero. 
b) O produto de um nmero por ele mesmo  igual ao quadrado desse nmero. 
c) A soma de um nmero com ele mesmo  igual ao produto de 2 por esse nmero.  
d) O quociente de um nmero no nulo por ele mesmo  1. 
<p>
Diviso de polinmios 
<F+>
<R->

  Voc j viu a diviso de monmio por monmio quando o segundo representa um nmero diferente de zero. Vamos retom-la para depois 
 prosseguir com o estudo da diviso, agora envolvendo polinmios com mais de um termo. Volte  pgina 258 e releia o assunto. 

Atividades 

<R+>
<F->
58. Copie e efetue estas divises de monmio por monmio. Considere os divisores diferentes de zero.
a) 8x82x2 
b) 9x57x3
c) 12x24x2
d) -8x2y2xy
e) 14a3b22ab 
f) -5x-9x
g) ?16x3y5*~2xy2 
h) 8x~2x 
i) ?10xy*~5xy2
<F+>
<R->
 
<108>
59. Atividade em equipe 
  Em cada item um aluno resolve e relata como fez. Os demais conferem e todos registram no caderno. 
<R+>
<F->
a) ....3x2=15x6 
b) 2xy....=14x2y
c) ...2a=4a  
d) 12y3...=-3 
e) ....3y=27xy 
f) ...2r2=3r3

Diviso de polinmio por monmio
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "No se esquea: em todas as divises, os divisores devem ser diferentes de zero, pois no existe diviso por zero." 

  A expresso ?6x3-12x*~3x  equivalente  diviso 6x3-12x3x, para x=0.

<R+>
6x3-12x3x=6x3
  3x-12x3x=2x2-4
<R->

  Ou, ainda, de outra maneira: 
<p>
<R+>
<F->
?6x3-12x*~3x=
  =6x3~3x-12x~3x=2x2-4 
(Efetuamos duas divises de monmio por monmio.) 
<F+>
<R->

  Assim, ?6x3-12x*~3x=
 =2x2-4, para todo x=0.
  Observe como foram efetuadas mais estas divises: 
<R+>
<F->
a) ?6x3y2+8x4y5+
  +10x2y4*~2xy2=
  =?6x3y2*~2xy2+
  +?8x4y5*~2xy2+
  +?10x2y4*~2xy2=
  =3x2+4x3y3+5xy2
b) 18a2-9ab+6a3a=
  =6a-3b+2 

Atividades  

60. Efetue estas divises considerando os divisores diferentes de zero: 
a) ?10a3b3+
  +8ab2*~2ab2    
b) ?9x2y3-
  -6x3y2*~3x2y
<p>
c) ?2x4+3x3-2x2+x*~x
d) ?3x+6x2+9x4*~3x 
e) 3x3-2x2x2 
f) 4r2+6r2r  
 
61. Qual  o polinmio que multiplicado por 2x resulta 2x3+2x2y+2xy2? 
62. Invente uma diviso de polinmio por monmio com quociente 5x2-2x+4. 
<F+>
<R->

<109>
<R+>
Diviso de polinmio por 
  polinmio 
<R->

  Analise os exemplos com ateno. Junte-se a um colega e procurem justificar cada etapa da resoluo. Vamos usar o processo da chave, que est descrito no quadro a seguir. 

<R+>
<F->
1) 15x2+2x-85x+4 
A) Dividimos o 1 termo do dividendo pelo 1 termo do divisor: 15x25x=3x 
<p>
B) Multiplicamos 3x.5x+4=
  =15x2+12x e subtramos o valor obtido de 15x2+2x. Para isso, mudamos os sinais de 15x2+12x e somamos a 15x2+2x. 
C) Repetimos o processo dividindo o 1 termo de -10x-8 pelo 1 termo de 5x+4, ou seja, -10x5x=-2. 
-25x+4=-10x-8. Tomando o oposto: +10x+8.
D) Ento, 15x2+2x-85x+4=
  =3x-2. Como o resto  zero, a verificao fica assim: 3x-
  -2.5x+4=15x2+12x-
  -10x-8=15x2+2x-8 
3x-2 -- quociente
5x+4 -- divisor
15x2+2x-8 -- dividendo 
<p>
2) 6x4-x3-13x2+5x-
  -166x2-x+5 

6x46x2=x2 
x26x2-x+5=6x4-x3+
  +5x2 
-18x26x2=-3 
-3.6x2-x+5=-18x2+
  +3x-15 

6x4-x3-13x2+5x-16
  6x2-x+5=x2-3 e resto 2x-1 
 
Verificao: 
 x2-3.6x2-x+5=
  =6x4-x3+5x2-18x2+
  +3x-15=6x4-x3-13x2+
  +3x-15 
 6x4-x3-13x2+3x-15+
  +2x-1=6x4-x3-13x2+
  +5x-16 
<F+>
<R->

<110>
_`[{o professor diz_`]
  "No se esquea: o grau do polinmio que aparece no resto deve 
<p>
 ser sempre menor do que o grau do 
 polinmio que  o divisor.  
 importante que os termos dos polinmios sejam colocados na ordem decrescente dos expoentes da varivel e os termos que esto faltando sejam colocados com coeficiente zero."

<R+>
<F->
3) 3x3-12x-5x2+20
  x2-4 
Escrevemos 3x3-12x-5x2+20 como 3x3-5x2-12x+20 e x2-4 como x2+0x-4. 
Ento, 3x3-12x-5x2+20
  x2-4=3x-5. 
Verificao: 3x-5x2-4=
  =3x3-12x-5x2+20 

Atividades

63. Pratique mais um pouco a diviso de expresses algbricas considerando o divisor diferente de zero. Nos itens f, g e h use 
<p>
  o processo da chave que voc acabou de ver. 
a) 40x105x2
b) ?12x3+4x2-8x*~4x 
c) 18a2b3ab 
d) 6y3-4y+102
e) 25x25x2
f) 10x2-43x+402x-5
g) 3x4-17x2+x+20
  x2-4 
h) 6x4-10x3+9x2+
  +9x-52x2-4x+5 

64. Qual  o polinmio que multiplicado por 3x2-7 d 15x3-6x2-35x+14? 
65. Qual  o polinmio que dividido por x-7 d quociente x2-4x+9 e resto 5? Descubra o polinmio e depois efetue a diviso para confirmar sua resposta. 

66. A rea da regio retangular a seguir pode ser indicada por 3x2-4x+1.  
<p>
    3x-1
!::::::::::::
l            _ ...
h::::::::::::j

a) Descubra a expresso que indica a largura.  
b) Descubra o valor de x para o qual o permetro  de 52 unidades.  
<F+>
<R->

<111> 
<R+>
Fatorao de polinmios 

1 Caso de fatorao: colocao 
  de um termo em evidncia 
<R->

  Analise a questo proposta pelo professor e a resposta dada por Emlio: 

_`[{o professor diz_`]
  "Como escrever o polinmio 3a2+3ab como uma multiplicao de um monmio por um binmio?"
<p>
_`[{emlio diz_`]
  "Como 3a2=3~a.a e 3ab=
 =3~a.b, posso escrever 3a2+
 +3ab=3~a.a+b."

  O que Emlio fez foi transformar o polinmio 3a2+3ab em uma multiplicao de 3a por a+b. Nesse caso dizemos que foi feita uma fatorao de 3a2+3ab ou que 3a2+3ab foi fatorado. 

<R+>
Fatorar um polinmio  express-lo por meio de uma multiplicao. 
<R->

  Existem vrios casos de fatorao que devem ser utilizados de acordo com as caractersticas do polinmio a ser fatorado. 
  Veja o processo para a fatorao de 3a2+3ab (1 caso de fatorao): 
 
<R+>
<F->
3~a2+3ab=3~a.a+3~a.b=3~a.
  .a+b 
3a  o fator comum s duas parcelas de 3a2+3ab. 
<p>
Assim: 3a2+3ab=3aa+b 
3aa+b -- forma fatorada

Verificao: 
Para verificar se a fatorao est correta basta desenvolver o produto 3aa+b=3a2+3ab e observar se volta ao polinmio na forma inicial 3a2+
  +3ab. 

Quando escrevemos 3a2+3ab=
  =3aa+b destacando o fator comum 3a, dizemos que o colocamos em evidncia. 
<F+>
<R->

  Veja que para encontrar o fator comum s vezes precisamos escrever os termos do polinmio de outra forma. Por exemplo, o polinmio 10x2-15x pode ser escrito assim: 
 
<R+>
<F->
10x2-15x=2x.5x-3.5x=
  =5x2x-3 
5x -- fator comum 
<F+>
<R->

<112>
<p>
  Outros exemplos de fatorao pelo 1 caso: 
<R+>
<F->
a) 6x-10y=2.3x+5y 
  2 -- fator comum
b) 5a2b+6ab=ab.5a+6
  ab -- fator comum  
c) 9x3-6x2+3x=3x.3x2-
  -2x+1 
d) xx+2+3x+2=x+2x+3
  x+2 -- fator comum

Atividades 

67. Faa o que se pede. 
a) Escreva o polinmio 8x3-
  -6x de tal forma que aparea um fator comum em ambos os termos.
b) Escreva esse polinmio como uma multiplicao de dois fatores.  
c) Por fim, faa a verificao. 

68. Fatore os polinmios, colocando em evidncia o fator comum em cada um deles. 
a) 4r+12    
b) 5x-20   
c) x3+x2   
<p>
d) 8r2+12r    
e) 15x3+10x2-5xy 
f) 15a2-9a  
g) x2-xy 
h) 6x2y2-9x2y+15xy2
i) a2+ab+a 
j) 14m2+21m 
k) xx-4+6x-4 
l) 3a4a+2+54a+2

2 Caso de fatorao: 
  agrupamento 
<F+>
<R->

  Analise a expresso ax+2a+
 +5x+10, um polinmio de quatro termos. No existe um fator comum aos quatro termos. Mas, agrupando-os de forma conveniente, podemos fazer a sua fatorao aplicando duas vezes o 1 caso de fatorao. Veja: 

<R+>
<F->
ax+2a+5x+10 
ax+2+5x+2 
x+2.a+5
<F+>
<R->
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "A fatorao de dois grupos separadamente, deve $"gerar$" um fator comum para uma nova fatorao." 

  Veja outros exemplos: 
<R+>
<F->
a) ab+a-bx-x
ab+1-xb+1
b+1a-x

b) a2-5a+a-5
aa-5+1a-5
a-5a+1
 
c) x3-2x2+x+x2y-2xy+y 
xx2-2x+1+yx2-2x+1 
x2-2x+1x+y 
<F+>
<R->

<113> 
Atividades 

<R+>
<F->
69. Fatore as expresses seguintes usando o agrupamento: 
a) 2x2-4x+3xy-6y 
b) a2-a-ab+b
c) x2+xy+x+y  
d) ab+3b-7a-21 
<p>
70. Somente uma das trs expresses a seguir pode ser fatorada por agrupamento. Descubra qual  e faa a fatorao. 

x2-2x+xy+2y; 
x2-2x-xy+2y; 
x2+2x+xy-2y. 

Desafio
<F+>
<R->
 
  Fatore o polinmio 3x+
 +5x-2+3x+52. 
 
<R+>
3 Caso de fatorao: trinmio 
  quadrado perfeito 
<R->

  No estudo dos produtos notveis voc viu que o quadrado da soma e o quadrado da diferena de dois termos nos do trinmios como resultados. Por exemplo: 
<R+>
<F->
a) x+52=x2+10x+25 
b) 3x+102=9x2+60x+100
c) a-72=a2-14a+49 
d) 4x-9y2=16x2-72xy+
  +81y2 
<F+>
<R->
<p>
  Cada um dos trinmios obtidos  conhecido por trinmio quadrado perfeito.

_`[{o professor diz_`]
  "Por que o nome de trinmio quadrado perfeito? Pense um pou-
 co. Troque ideias com os colegas." 
 
  O caminho inverso do que aparece anteriormente  a fatorao do trinmio quadrado perfeito. 
<R+>
<F->
Veja: 
a) x2+10x+25=x+52
x2 -- quadrado de x
10x -- o dobro do produto de 
  x e 5
25 -- quadrado de 5

b) 9x2+60x+100=3x+102
9x2 -- 3x2
60x -- 2.3x.10
100 -- 102
<p>
c) a2-14a+49=a-72 
a2 -- quadrado de a
-14a -- oposto do dobro do produto de a e 7
49 -- quadrado de 7

d) 16x2-72xy+81y2=
  =4x-9y2 
16x2 -- 4x2
72xy -- -2.4x.9y
81y2 -- 9y2
<F+>
<R->

<114>
Atividades  

<R+>
<F->
71. Entre os seis trinmios a seguir h quatro que so quadrados perfeitos. Copie-os e faa a fatorao de cada um. 
a) x2+16x+64  
b) x2-5x+25
c) 49x2-14x+1 
d) 9x2+12xy+4y2 
e) 16x2+8xy+2y2
f) a2-2ab+b2 
<p>
72. Em cada item, descubra o termo que falta para obter uma expresso que pode ser transformada em um trinmio quadrado perfeito. Em seguida fatore o trinmio obtido. 
Veja o exemplo: 
x2+5x+9+... :o x2+5x+9+x=
  =x2+6x+9=x+32 
a) x2+8x+10+... 
b) 3x2-4x+1+... 
c) 4x2+17x+25+... 
d) 49x2-42x-1+... 
Troque ideias com os colegas. 

4 Caso de fatorao: diferena 
  de dois quadrados 
<F+>
<R->

  Voc j viu que o produto da soma pela diferena dos mesmos termos  um produto notvel e que seu resultado  igual  diferena entre o quadrado do 1 termo e o quadrado do 2 termo. Por exemplo: 
<R+>
<F->
a) x+8x-8=x2-64 
b) 5x+95x-9=25x2-81 
<p>
c) 7x-y7x+y=49x2-y2 
d) 10+a10-a=100-a2 
<F+>
<R->

  O caminho inverso do que aparece anteriormente  a fatorao da diferena de dois quadrados. Veja: 

<R+>
<F->
a) x2-64=x+8x-8
x2 -- quadrado de x
64 -- quadrado de 8
 
b) 25x2-81=5x+95x-9 
25x2 -- 5x2
81 -- 92

c) 49x2-y2=7x+y7x-y
49x2 -- quadrado de 7x
-y2 -- quadrado de y 

d) 100-a2=10+a10-a 
100 -- 102
a2 -- a2
<p>
Atividades 

73. Escreva as diferenas como produto de uma soma por uma diferena dos mesmos termos: 
a) x2-1 
b) y2-81 
c) 9a2-49
d) 1-a2 
e) x2-144 
f) 4x2-81y2 
g) 64x2-9  
h) 36-x2~49 
i) x4-25  
<F+>
<R->

<115>
<R+>
<F->
74. Faa a fatorao das expresses a seguir usando os quatro casos estudados. (Sugesto: 
  Para descobrir que caso usar, siga a ordem em que foram estudados.) 
a) 3x2-15x  
b) 9x2-25 
c) 5a2-a+10ab-2b
d) x2+40x+400 
e) y2-3.600  
f) 2a2-6ab+4a 
<p>
g) 16a2-8a+1
h) x2-x 
i) r2-2rs+s2  
j) 10x3+35y  
k) m2-n2  
l) 49x2-144y2  

5 Caso de fatorao: soma de 
  dois cubos 
<F+>
<R->

  Veja o que acontece quando multiplicamos a soma de dois termos 
 por um trinmio formado pelo quadrado do 1 termo menos o produto do 1 pelo 2 e mais o quadrado do 2 termo: 
 
<R+>
<F->
x+yx2-xy+y2=x3-x2y+
  +xy2+yx2-xy2+y3=x3+
  +y3
x3 -- cubo de x
y3 -- cubo de y
<p>
5x+225x2-10x+4=
  =125x3-50x2+20x+50x2-
  -20x+8=125x3+8 
125x3 -- cubo de 5x 
8 -- cubo de 2 
<F+>
<R->

  O caminho inverso do que aparece anteriormente  mais um caso de fatorao (soma de dois cubos). Veja: 

<R+>
<F->
x3+y3=x+yx2-xy+y2
x3 -- cubo de x
y3 -- cubo de y

125x3+8=5x+225x2-
  -10x+4
125x3 -- 5x3
8 -- 23

  Outros exemplos: 
a) r3+1=r+1r2-r+1 
b) 27x3+64y3=3x+4y
  9x2-12xy+16y2 
<p>
6 Caso de fatorao: diferena 
  de dois cubos 
<F+>
<R->

  O raciocnio  o mesmo do caso anterior: 

<R+>
<F->
x-yx2+xy+y2=x3+x2y+
  +xy2-yx2-xy2-y3=x3-
  -y3
x3 -- cubo de x
y3 -- cubo de y

3x-59x2+15x+25=
  =27x3+45x2+75x-45x2-
  -75x-125=27x3-125
27x3 -- 3x3
125 -- 53

Fazendo o caminho inverso temos o caso de fatorao para expresses que indicam a diferena de dois cubos: 

x3-y3=x-yx2+xy+y2
x3 -- cubo de x
y3 -- cubo de y 
<p>
27x3-125=3x-59x2+
  +15x+25 
27x3 -- 3x3
125 -- 53

Outros exemplos: 
a) r3-8s3=r-2sr2+
  +2rs+4s2
b) x3-1=x-1x2+x+1 
<F+>
<R->

<116>
Atividades 

<R+>
<F->
75. Fatore as expresses que indicam soma de dois cubos: 
a) a3+1.000 
b) 27x3+1 
c) 8x3+y3 

76. Faa a fatorao das diferenas entre dois cubos: 
a) x3-64 
b) 8a3-1 
c) 27a3-125y3  

77. Fatore as expresses usando em cada item um dos casos de fatorao estudados: 
<p>
a) ab+ac  
b) ab+a+bc+c
c) a2-2ab+b2 
d) a2-b2
e) a3+b3  
f) a3-b3 

78. Clculo mental -- atividade em grupo 
<F+>
<R->
  Um de vocs faz a fatorao mentalmente e expe o resultado para os outros. Os demais colegas conferem para ver se o clculo est correto. Para cada item, um colega diferente expe. 
<R+>
<F->
a) x2-8x  
b) x2-a2
c) x2-10x+25 
d) a2+ab 
e) a2-ab+a  
f) y2+14y+49 
g) x3-2x2+10x  
h) r6-9 
<p>
Fatoraes sucessivas 
<F+>
<R->

  H expresses nas quais podemos fatorar duas ou mais vezes at chegar ao resultado final. Veja alguns exemplos: 
<R+>
<F->
a) 3x2-75=3x2-25=
  =3x+5x-5
colocando o 3 em evidncia 
  -- 3x2-25=
fatorando a diferena entre dois quadrados -- 3x+5x-5  
b) 4x3+4x2+x=x4x2+
  +4x+1=x2x+12 
c) x4-81=x2+9x2-9=
  =x2+9x+3x-3 
d) x2-y2+3x+3y=x+yx-
  -y+3
x2-y2 -- x+yx-y
3x+3y -- 3x+y

Atividades  

79. Atividade em dupla 
<F+>
<R->
  Justifiquem as passagens dos exemplos de fatorao anteriores (itens b, c e d). 
<p>
<R+>
<F->
80. Fatore as expresses a seguir at no ser mais possvel: 
a) 45x3-5xy2  
b) a4-b4  
c) xy-5x+4y-20  
d) 7x4+56x  
e) y3-9y
f) x2+2xy+y2+5x+5y  
g) a2-3a-ab+3b  
h) x2-y2+2x-2y  
<F+>
<R->

<117> 
<R+>
Uma aplicao da fatorao: 
  Clculo do mnimo mltiplo 
  comum (mmc) de polinmios

Mnimo mltiplo comum de nmeros 
  naturais (reviso) 
<R->

  Voc j viu o mmc de nmeros naturais. O mmc de 18 e 30, por 
 exemplo,  o menor nmero natural, diferente de zero, que  divisvel por 18 e 30 ao mesmo tempo. 
  Para chegar a ele podemos fazer a decomposio dos dois nmeros em 
<p>
 fatores primos (fatorao comple-
 ta) e multiplicar todos os fatores obtidos sem repetir os fatores comuns. 

<R+>
<F->
18 _ 2
9  _ 3
3  _ 3
1  _ 

30 _ 2
15 _ 3
5  _ 5
1  _ 

18=2.32
30=2.3.5
mmc18, 30=2.32.5=90

Processo prtico

18, 30 _ 2
9,  15 _ 3
3,  5  _ 3
1,  5  _ 5
1,  1  _ 

2.32.5=90
<p>
Mnimo mltiplo comum de 
  polinmios
<F+>
<R->

  Tambm  possvel determinar o mmc de dois ou mais polinmios: devemos encontrar o polinmio mais simples que seja divisvel (diviso exata) por todos eles.
  O raciocnio  mesmo do mmc de nmeros naturais: fatorar o mximo possvel cada expresso e depois multiplicar todos os fatores obtidos, sem repetir os fatores comuns.
  Veja alguns exemplos: 
<R+>
<F->
a) mmc de dois monmios: 45x3y e 18xyz 

45 _ 3
15 _ 3
5  _ 5
1  _ 

18 _ 2
9  _ 3
3  _ 3
1  _ 
<p>
 A fatorao completa de 45x3y : 32.5.x3.y
 A fatorao completa de 18xyz : 2.32.x.y.z 
 mmc: 2.32.5.x3.y.z=
  =90x3yz
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Observe que mmc45, 18=90."
 
<R+>
<F->
Podemos dividir: 
90x3yz45x3y=2z e 90x3yz18xyz=5x2 
b) mmc de um monmio com um trinmio: 35x e 5x4+15x3-10x2 

35 _ 5
7  _ 7
1  _ 

Em 35x=5.7.x, os fatores so: 5, 7 e x
<p>
Em 5x4+15x3-10x2=5.
  .x2x2+3x-2, os fatores so: 5, x2 e x2+3x-2 
mmc: 5.7.x2x2+3x-2=
  =35x2x2+3x-2=35x4+
  +105x3-70x2 
c) mmc de um binmio com um trinmio: x2-9 e x2+6x+9 
 A fatorao completa de x2-9 : x+3x-3 
 A fatorao completa de x2+6x+9 : x+32 
 mmc: x+32.x-3 ou x2+6x+9x-3 ou x3+3x2-9x-27 
<F+>
<R->
<118>
<R+>
<F->
d) mmc de dois polinmios: x2-3x+xy-3y e x3-xy2 
 A fatorao completa de x2-3x+xy-3y : xx-3+
  +yx-3=x-3x+y  
 A fatorao completa de x3-xy2 : xx2-y2=
  =xx+yx-y 
 mmc: xx-3x+yx-y 
<p> 
Atividades  

81. Calcule o mmc60, 280 fatorando os dois nmeros separadamente. Depois confira calculando pelo processo prtico. 

82. Determine o mnimo mltiplo comum dos polinmios indicados: 
a) 6x3 e 20x2   
b) 9xy e 12xy2  
c) 18x e 6x2  
d) 6x3, 10xy e 4y2  
e) 9y, 12y e 6y2 
f) 6x e 2x3+10x2 
g) x2-1 e x2-2x+1 
h) 3x e x-5  
i) x3+8 e x2+4x+4  

83. Veja o clculo do mmc de 4x2-2x e 12x2-12x+3: 
4x2-2x=2x2x-1 
12x2-12x+3=34x2-4x+1=
  =32x-12 
mmc: 2.3.x.2x-12
Determine o quociente do mmc obtido por 4x2-2x e por 12x2-12x+3. 
<p>
84. Calcule o mmc dos polinmios dados e depois o quociente do mmc obtido por eles: 
a) 12x3y e 20xy  
b) 10x e 5x2-15x 
c) x2-49 e x2+14x+49 

Outra aplicao de fatorao: 
  resoluo de equao-produto 
<F+>
<R->

  A equao x+2x-3=0  denominada equao-produto. Pense por qu. 
  Veja sua resoluo: 
  Se x+2x-3=0, ento x+2=0 ou x-3=0. 
  Para x+2=0 temos x=-2, e para x-3=0 temos x=3. 
 
_`[{o professor diz_`]
  "Lembre-se da propriedade dos nmeros reais: se a.b=0, ento a=0 ou b=0."
<p>
  Logo, a equao-produto x+2x-3=0 tem duas solues ou razes: -2 e 3. 

  Verificao: 
  x+2x-3=-2+2-2-3=
 =0-5=0 e x+2x-3=
 =3+23-3=5.0=0 
<119>
  Veja, agora, outros exemplos de resoluo de equao-produto. Observe que s vezes  necessrio fazer a fatorao antes. 

<R+>
<F->
Exemplo 1:  
3x-1x+4=0 
3x-1=0 
3x=1
x=#,c
ou
x+4=0 
x=-4 
Razes da equao: -4 e #,c. 

Exemplo 2: 
9x2-25=0 
Fatorando o 1 membro: 
3x+53x-5=0 
<p>
3x+5=0
3x=-5
x=-#?c
ou
3x-5=0
3x=5
x=#?c
Razes da equao: -#?c e #?c.

Exemplo 3:
x2-20x+100=0 
Fatorando o 1 membro:
x-102=0 
Se uma expresso elevada ao quadrado  igual a zero, ento essa expresso deve ser igual a zero:
x-10=0 
x=10 
nica raiz da equao: 10. 

Exemplo 4:
3x3-10x2=0 
Fatorando o 1 membro: 
x2.3x-10=0
x2=0
x=0
<p>
ou
3x-10=0
3x=10
x=#,}c=3#,c
Razes da equao: 0 e 3#,c. 

Atividades 

85. Atividade em dupla
<F+>
<R->
  Comentem e justefiquem cada passagem nas resolues dos exemplos de equao-produto. 

<R+>
<F->
86. Resolva as seguintes equaes-produto: 
a) y+7y-3=0  
b) 4x-3x+5=0
c) 3n+24n+5=0 
d) 4m-34m+1=0
e) 5y.y+9=0 
f) x-1x+4x-6=0 

87. Em cada item, fatore o 1 membro e depois resolva a equao-produto resultante: 
a) 5x2-15x=0  
b) n2-121=0
c) 3x3-48x=0 
<p>
d) x2-5x=0
e) xx+3+xx-4=0 
f) 9y2-6y+1=0 

Desafio
<F+>
<R->

  Resolva a equao x2+5x+6=0. 
  Sugesto: antes de fatorar o 1 membro, substitua 5x por 3x+2x. 

<120>
Demonstraes 
 
  Usando o que aprendeu neste captulo, voc poder demonstrar ou provar algumas propriedades numricas. 
  Acompanhe a situao a seguir, para entender o que significa isso. 
  Rosana e Felcio estavam ansiosos para mostrar ao professor o que descobriram brincando com alguns nmeros. Sabiam que era algo 
<p>
 interessante, mesmo sem entender o que realmente significava. Veja o que descobriram: 

<R+>
<F->
Rosana:
3+22+3-22=232+
  +22 
52+12=29+4
25+1=2.13
26=26
Vale para os nmeros 3 e 2.

Felcio:
10+52+10-52=
  =2102+52
152+52=2100+25
225+25=2.#abe
250=250
Vale para os nmeros 10 e 5.
<F+>
<R->

_`[{rosana diz_`]
  "Ser que vale para quaisquer outros dois nmeros?"

<R+>
<F->
Veja com o 7 e o 4: 
7+42+7-42=272+
  +42 
<p>
112+32=249+16 
121+9=2.65 
130=130 
<F+>
<R->

  Essas descobertas com determinados nmeros so muito interessantes e intrigantes. Elas podem indicar uma regularidade. Podem inspirar uma regra geral. Mas para uma propriedade ser vlida no basta constatar que ela  verdadeira para alguns nmeros.  pre-
 ciso mostrar que ela  verdadeira para todos os nmeros reais, fazendo uma demonstrao ou prova. 

_`[{felcio diz_`]
  "Para todos os nmeros? Mas como se faz isso?"

_`[{o professor diz_`]
  "Bem,  a que o clculo algbrico pode nos ajudar -- e muito -- a fazer generalizaes."
<p>
  Em primeiro lugar, escolhemos x e y para representar dois nmeros reais quaisquer.  
  Vamos verificar que para esses dois nmeros quaisquer  verdadeira a igualdade: 
 
<R+>
x+y2+x-y2=2x2+y2 
<R->

<121> 
  Vejamos: 
<R+>
x+y2+x-y2=x2+2xy+y2+
  +x2-2xy+y2=2x2+2y2=
  =2x2+y2  
<R->
  De fato, mostramos que a igualdade x+y2+x-y2=
 =2x2+y2  verdadeira para quaisquer valores reais de x e y que voc escolher, ou seja, demonstramos ou provamos que essa igualdade  sempre verdadeira. 

_`[{a menina pensa_`]
  "Que legal essa histria de demonstrao!"
<p>
  Veja outro exemplo. 
  Vamos provar que a soma de dois nmeros inteiros pares  um nmero par. 
  Um nmero inteiro par qualquer pode ser escrito na forma 2n, em que n  um nmero inteiro. 
  Consideremos dois nmeros pares 2p e 2q, em que p e q so nmeros inteiros. 
 
2p+2q=2p+q=2m 

  Como p e q so inteiros, p+q=m tambm  um nmero inteiro. As-
 sim, a soma de dois nmeros inteiros pares 2p+2q  um nmero inteiro par 2m. 

Atividades

<R+>
<F->
88. Faa como Rosana e Felcio fizeram na pgina 348: Tente voc com o 20 e o 5, depois com o 9 e o 2 e ainda com dois nmeros que voc escolher. 
<p>
89. Demonstre que a soma de dois nmeros inteiros consecutivos  igual  diferena de seus quadrados. 
90. Demonstre que a soma de dois nmeros inteiros mpares  um nmero par. 
91. Observe estas igualdades: 
7+8+9=24=3.8 
20+21+22=63=3.21 
-8+-7+-6=-21=3.-7 
<F+>
<R->

  Pelos exemplos, podemos conjecturar que a soma de trs n-
 meros inteiros consecutivos  um mltiplo de 3. 

_`[{o professor diz_`]
  "Procure no dicionrio o que significa conjecturar."

  Nomeie os trs nmeros inteiros consecutivos assim: n-1, n e n+1 e demonstre que a propriedade anterior vale para quaisquer trs nmeros inteiros consecutivos. 
<p>
<R+>
<F->
92. Prove que a soma de cinco nmeros inteiros consecutivos  mltiplo de 5. 
Provar  o mesmo que demonstrar.
(Sugesto: Nomeie os nmeros de n-2, n-1, n, n+1 e n+2.)  
<F+>
<R->

<122> 
Leitura
  
Cuidado com as generalizaes! 

  Para mostrar como  perigoso generalizar com base em alguns ca-
 sos particulares, veja o exemplo a seguir. 
  Considere a expresso algbrica n2+n+41, com n representando um nmero natural. 
<R+>
<F->
 Para n=0, temos: 02+0+41=41 ( um nmero primo). 
 Para n=1, temos: 12+1+41=43 ( um nmero primo). 
<F+>
<R->
<p>
  Verifique agora se, para n=2, n=3, n=4 e n=5, o resultado  um nmero primo. 
  E ento? 
  Para n=6, n=7, n=8, ... at n=39, o nmero n2+n+41  primo. Assim, muitos poderiam afirmar que, para qualquer nmero natural n, n2+n+41  primo. 
  Porm, veja que interessante: 
  Para n=40, temos n2+n+41=402+40+41=1.681, que  mltiplo de 41 1.68141=41. 
  Portanto, o nmero 402+40+41=1.681 tem como divisores: 1, 41 e 1.681. Logo, no  primo. 
  Esse exemplo mostra claramente que  muito perigoso generalizar um resultado ou uma propriedade com base apenas em alguns casos particulares. 
  Em qualquer rea, muitas vezes descobertas importantes surgem do reexame de erros cometidos. Leia 
<p>
 mais sobre erros em generalizaes na seo Para ler, pensar e divertir-se da pgina 372. 

               ::::::::::::::::::::::::

5. Polinmios com uma varivel 

  Entre as expresses algbricas, so de grande importncia na Matemtica os chamados polinmios com uma varivel, como estes, por exemplo: 
 
<R+>
5x2; 9x-7; y2-6y+1; ?3x4*~7; 3x3-2x; a3+1   
<R->

  Vamos retomar as principais ideias deste captulo utilizando os polinmios com uma varivel. 
<p>
Atividades  

<R+>
<F->
93. Escreva o grau, o coeficiente e a parte literal de cada monmio de uma nica varivel. 
a) 6x3
b) -y4 
c) 2x~3 
d) a~5
e) r2
f) 3,5y

94. Qual  o monmio semelhante a 5x2~9 que tem coeficiente -3? 
<F+>
<R->

<123>
<R+>
<F->
95. Efetue as operaes com polinmios de uma varivel: 
a) 8x.4x
b) 8x+4x 
c) 8x-4x  
d) 8x4x, com x=0  
e) 10x5-3x2  
f) 10x5.-3x2 
g) 10x5-3x2, com x=0 
h) 5x53 
i) -3x24 
j) 3x2-2x+5x-4
<p>
k) x2-6x+2-x2-7x+6
l) 3x.5x2-7x+9
m) x+6x-8 
n) x2-4x+1x2-3x-5  
o) 8x4-10x3+6x2
  2x2, para x=0 
p) 15x2-6x3x, para x=0
q) x2-64x+8
r) 12a3-19a2+15a-3
  3a2-a+2

96. Fatore o mximo possvel: 
a) 12x4-20x3   
b) x2-10x+25    
c) 9x2-49    
d) x3-343 
e) 8x3-27 
f) x3+6x2+9x
g) y2+22y+121  
h) 8m3+1
i) x3-9x 

97. Reduza as expresses  forma mais simples: 
a) 3x-1x+2-x-32  
b) x+5x-5-2x-10  
<p>
98. Calcule o mmc dos polinmios: 
a) 18x3 e 30x2 
b) 10x2 e 15x2-20x 
c) x2-36 e x2+12x+36 

99. Determine o quociente do mmc de 6x4 e 10x5 por 6x4 e depois por 10x5, para x=0.

100. Projeto em equipe: 
  desenhando os produtos 
  notveis 
<F+>
<R->
  Elaborem vrios cartes como estes a seguir no caso de optarem por colagens. 

<F->
      x          1  
  !:::::::     !::
  l       _     l  _       
  l       _     l  _   1
x l  x2 _ x x lx _  !::
  l       _     l  _  l1_ 1
  h:::::::j     h::j  h::j
      x
<F+>
<p>
  Em lugar de colagens tambm podem ser feitos desenhos. 
  Em uma folha de papel sulfite elaborem representaes geomtricas dos seguintes casos de fatorao: fator comum em evidncia, diferena de dois quadrados e trinmio quadrado perfeito. Veja os exemplos e procurem fazer outras fatoraes com pelo menos uma de cada caso. 
<R+>
<F->
a) Fator comum em evidncia 
 Dada a expresso algbrica x2+x, usando os cartes  

  !:::::::   !::
  l       _   l  _       
  l       _   l  _   
  l  x2 _ e l x_  
  l       _   l  _  
  h:::::::j   h::j

   possvel formar uma regio retangular: 
<p>
     x      1
  !:::::::::
  l       _  _       
  l       _  _   
x l x2  _ x_  
  l       _  _  
  h:::::::j::j

  cuja rea  x+1. Assim, x2+x=xx+1.
xx+1 -- expresso fatorada

 Outro exemplo: 2x+2 

!::!::!::!:: 
l  _l  _l1_l1_         
l  _l  _h::jh::j    
lx _lx _         
l  _l  _          
h::jh::j         
<p>
   1 1
  !::::
1l  _  _      
  r::w::w   
  l  _  _
  l  _  _ 
x l  _  _
  l  _  _
  l  _  _
  l  _  _
  h::j::j   

rea: 2x+1     
Assim, 2x+2=2x+1.
2x+1 -- expresso fatorada 
<F+>
<R->

<124>
<R+>
<F->
b) Diferena de dois quadrados 
Fatorar x2-4. 
Assim, x2-4=x+2x-2. 
x+2x-2 -- expresso fatorada
 
c) Trinmio quadrado perfeito 
Fatorar x2+4x+4. 
Assim: x2+4x+4=x+2x+2 ou x+22. 
x+2x+2 ou x+22 -- expresso fatorada
<p>
101. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? Responda em seu caderno. 
 
Raciocnio lgico
<F+>
<R-> 

  Um homem tem dois relgios. Um deles est parado e o outro atrasa uma hora por dia. Qual deles mostrar mais frequentemente a hora certa? 

Curiosidade matemtica 

<R+>
<F->
2=3? 
  Analise as igualdades e descubra o que est errado. 
  Partindo de 0=0, vamos provar que 2=3. 
0=0 
  Substituindo cada zero da igualdade por uma subtrao que resulte em zero, temos, por exemplo: 
<p>
2-2=3-3 
  Em cada membro da igualdade obtida anteriormente, vamos colocar o termo comum em evidncia: 
2.(1-1)=3.(1-1) 
  Dividindo ambos os membros pelo termo comum (1-1), obtemos: 
2=3
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<125> 
Reviso cumulativa 

<R+>
<F->
1. Considere as expresses 
  algbricas: 

3x4; 
5x+y2; 
9x-4; 
x2-10x+25; 
5xy2; 
x2+5x+16; 
x3-1;
x2-1. 
<p>
Indique entre elas: 
a) todos os trinmios.  
b) todos os monmios.  
c) todos os binmios.  
d) um trinmio quadrado perfeito.  
e) um monmio com duas variveis.  
f) uma diferena entre dois cubos.  
g) um monmio com uma varivel.  
h) um binmio com duas variveis.  
i) um binmio do 2 grau com uma varivel. 
j) uma expresso cujo valor numrico  40 para x=3. 
k) uma expresso equivalente a x+1x-1. 

2. Um retngulo A tem comprimento de medida x e largura de medida x-3. 
<F+>
<R->
  Um retngulo B  obtido a partir de A aumentando 5 unidades no comprimento e dobrando a largura.
<R+>
<F->
 Indique por meio de expresses algbricas: 
<p>
a) o permetro de A.  
b) o permetro de B.  
c) a rea de A. 
d) a rea de B.  
e) quanto o permetro de B tem a mais do que o permetro de A.  
f) quanto a rea de B tem a mais do que a rea de A. 
 Considerando x=10 cm, calcule os valores indicados nos itens de a a f. 

3. Considere um paraleleppedo de dimenses a, b e c. Escreva o polinmio mais simples que indica a rea total de sua superfcie.  

4. Calcule: 
a) 1.936
b) 6,76
c) 45 com aproximao de 0,1 por falta
<p>
5. Ana Lcia construiu uma regio retangular A cujo comprimento em centmetros mede o triplo da largura. Em seguida, 
  tirou uma parte retangular de 5 cm por 2 cm. 
<F+>
<R->
  Observe as figuras e escreva, na forma mais simples possvel, as expresses algbricas que indicam: o permetro de A, o permetro de B, a rea de A e a rea de B. 

<F->
         3x
  !:::::::::::::::::
  l                 _
x l                 _ 
  l       A        _
  l                 _
  h:::::::::::::::::j
                
  !::::::::::::::::
  l           2:::w 
  l               5_  
x l                 _ 
  l                 _
  h:::::::::::::::::j
         3x
<p>
  !::::::::::::: 5
  l           2::: 
  l                 _  
x l    B           _ 
  l                 _
  h:::::::::::::::::j
         3x
<F+>

<R+>
<F->
6. Pensei em um nmero, dividi-o por 4 e tirei #;c, obtendo #?f. Em que nmero pensei? 

7. Reduza as expresses  sua forma mais simples. Depois, faa a fatorao do resultado obtido em cada item. 
a) x+22-4x+10 
b) 5200-x+xx2+5 
c) 15x2~5-12x~2+21~7  
<F+>
<R->

<126>
<p>
<R+>
8. Qual das figuras a seguir no  planificao de um cubo? 
<R->

a)
<F->
      !::   
      l  _    
!::::r::w:: 
l  _  l  _  _
h::j::r::w::j 
      l  _
      h::j
<F+>

b)
<F->
   !::   
   l  _    
!::r::w::!:: 
l  l  _  l  _
h::h::j::r::w 
         l  _
         h::j
<F+>

c)
<F-> 
!::::::!:: 
l  _  _  l  _
r::w::j::r::w 
l  _     l  _
h::j     h::j
<F+>
<p>
d)
<F-> 
!::::
l  _  _
h::w::w:: 
   _  _  _
   ::w::w::
      _  _  _
      ::j::j

<R+>
<F->
9. Sorteando uma das letras da palavra BANANA, calcule: 
a) a probabilidade de se retirar a letra A. 
b) a probabilidade de se retirar a letra N. 
c) a probabilidade de se retirar a letra B. 

10. Estimativa 
<F+>
<R->
  Faa uma estimativa e relacione a rea da regio quadrada {e{f{g{h com a rea da regio quadrada {a{b{c{d. Conte os quadrinhos e confira sua estimativa. 

_`[{figuras no adaptadas_`]
<p>
<R+>
<F->
Use a concluso a que voc chegou e responda em seu caderno: 
a) A rea da regio quadrada {i{j{k{l corresponde a que frao da regio {a{b{c{d? 
b) E a rea de {e{f{g{h em relao  rea de {i{j{k{l?  o qudruplo. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
11. Copie e complete com a alternativa correta. A adio de um polinmio do 3 grau com outro polinmio do 3 grau ...:
a) resulta sempre num polinmio do 3 grau. 
b) pode resultar num polinmio do 6 grau. 
c) nunca resulta num polinmio do 1 grau. 
d) pode resultar num polinmio do 2 grau. 
<p>
12. Em uma prova, um aluno acertou 18 questes e errou 12. Seu ndice de acertos foi de 60%, 33%, 40% ou 75%? 
13. Para que 9x2-24x+n seja um trinmio quadrado perfeito, qual deve ser o valor de n? 

14. Copie o item em que as expresses se equivalem. 
a) 3x-12 e 2x+5+x-4 
b) x+3x-4 e x2-x+12 
c) x+4x-4 e x+42 
d) ?30x2-12*~6x e 5x-12
 
15. Renato pensou em um nmero. Quando somou a metade desse nmero com 5, obteve menos do que quando tirou 1 de seu dobro. O nmero em que Renato pensou: 
a) pode ser o 2.  
b)  o 6. 
c) pode ser o 8. 
d)  o 4. 

16. Quais so as solues da equao 2x-12x+3=0?   
<p>
17. Um carpinteiro possui trs peas de madeira de comprimentos 1,5 m, 0,75 m e 2 m. Ele quer cortar todas as peas em pedaos iguais, do maior tamanho 
  possvel, de modo que no haja sobra de madeira. O comprimento de cada pedao deve ser: 
a) 30 cm.  
b) 25 cm 
c) 45 cm
d) 15 cm 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<127>
<R+>
Para ler, pensar e divertir-se 

Ler
 
O perigo de generalizar 
  conhecendo apenas alguns 
  exemplos: o Escorrego de 
  Fermat 
<R->

  Os nmeros da forma fn=
 =2?2n*+1, para n=0, 1, 2 ..., so chamados nmeros de 
<p>
 Fermat (Pierre de Fermat: 1601-1665). 
  Observe que fn  primo para n=0, 1, 2, 3 e 4.
<R+>
<F->
f0=2?20*+1=21+1=3 (primo) 
f1=2?21*+1=22+1=5 (primo) 
f2=2?22*+1=24+1=17 (primo) 
f3=2?23*+1=28+1=257 (primo) 
f4=2?24*+1=216+1=
  =65.537 (primo) 
<F+>
<R->

  Essa anlise fez com que 
 Fermat conjecturasse que todos os fn fossem primos, para qualquer n natural, no que errou, pois Euler (Leonhard Euler: 1707-1783) verificou que f5=4.294.967.297  divisvel por 6414.294.967.~
 big641=6.700.417 e resto 0. E nenhum fn primo foi obtido, at hoje, para n>4. 
  Mas o trabalho de Fermat no foi em vo. Hoje em dia se sabe 
<p>
 muito sobre os nmeros de Fermat. Eles so utilizados para testar sistemas e apontar erros em computadores de grande porte. 

Pensar 

<R+>
1. A figura _`[no adaptada_`] mostra trs vistas diferentes de um mesmo balo de oito faces (octaedro). Todas as faces so regies triangulares equilteras. Qual deve ser a cor da face que contm o sinal de interrogao: vermelha, amarela ou azul? 
<R->
  Que tal construir um balozinho igual para descobrir? Reproduza a planificao, triplicando a medida das arestas. Pinte-a com as cores indicadas e monte o octaedro. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
2.  lgico! 
  Copie e complete logicamente. 
<R+>
<F->
 Todo prisma  poliedro. 
 Alguns slidos geomtricos so prismas. 
 Portanto, ... 
<F+>
<R->
 
Divertir-se 
 
  Voc pode descobrir padres ou regularidades usando uma calculadora. Copie e complete. 
  Depois, sem usar a calculadora, escreva as duas linhas seguintes de cada item. Finalmente, confira com uma calculadora. 
<R+>
<F->
a) 8.9=...
  8.99=...
  8.#iii=...
  8.9.999=... 
b) 7.15.873=...
  14.#ae.hgc=...
  21.#ae.hgc=...
  28.#ae.hgc=... 
c) 0.9+1=... 
  1.9+2=...
<p>
  12.9+3=...
  123.#i+4=...
  1.234.#i+5=...
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte
